Imaginez que vous ne pouvez vous déplacer que sur une corde fine dans les deux sens. C'est le monde de la droite réelle. Si vous voulez sauter vers le haut, la corde ne peut pas vous supporter. Introduireles nombres complexesrevient à ajouter une nouvelle dimension à votre monde. Chaque nombre complexe de la forme $z = a + bi$ n'est plus simplement un point sur l'axe réel, mais un couple de coordonnées $(a, b)$ dans le plan ou un vecteur émanant de l'origine. Cette correspondance parfaite entre « nombre » et « forme » constitue l'une des plus grandes avancées de l'histoire des mathématiques.
Définition algébrique et correspondance géométrique des nombres complexes
Dans le premier volume des cours obligatoires optionnels, nous avons étudié le système des nombres complexes. Un nombre complexe est composé dela partie réelleetla partie imaginairecomposantes, sous la forme algébrique standard $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Pour comprendre intuitivement les nombres complexes, nous avons établile plan complexe :
- l'axe réel : correspond à l'axe $x$, représentant la partie réelle d'un nombre complexe.
- l'axe imaginaire : correspond à l'axe $y$, représentant la partie imaginaire d'un nombre complexe.
- point et nombre complexe : le nombre complexe $z = a + bi$ correspond biunivoquement au point $Z(a, b)$.
- vecteur et nombre complexe : le nombre complexe $z = a + bi$ correspond biunivoquement au vecteur plan $\vec{OZ}$.
Le module d'un nombre complexe $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ représente géométriquement la distance entre le point $Z$ dans le plan complexe et l'origine. Quant à $|z_1 - z_2|$, c'est la distance entre deux points.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$